在等腰梯形ABCD中,AB‖CD,AB=4,CD=10,AC⊥BD,求ABCD的面积

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/13 06:46:45
在等腰梯形ABCD中,AB‖CD,AB=4,CD=10,AC⊥BD,求ABCD的面积.
问题2：在梯形ABCD中，AD‖BC，对角线AC于BD互相垂直交于O，MN是梯形的中位线，角DBC=30度，求证：AC=MN

设交点为O
由题意得：AO=BO=2更号2，过O做AB的垂线，垂足为F，AF=2,OF=2更号2,得AO=2
同理 O到DC＝5，所以高等于7
S=49

设AB CD交点为O
OA=OB OA垂直OB 所以OAB为等腰直角三角形
同理 OCD也是等腰直角三角形
又CD为10 AB为4
所以AO=BO=2根号2
CO=DO=5根号2
所以AC=BD=7根号2
作AH垂直CD
那么CH=10-（10-3）/2=7
所以在RT三角形AHC中 AH=7
所以这个等腰梯形的高为7
所以面积是7*7=49

答案是49
事实上，由AC⊥BD容易证出ABCD的面积等于1/2AC*BD
再由等腰梯形的性质，可以证三角形全等,知道AO=BO,CO=DO
其中O是AC与BD的交点.
那么由等腰直角三角形性质可以计算出AO=2√2,CO=5√2.
那么结果就是1/2*(7√2)^2=49

设AC交BD于O
又ABCD是等腰梯形，AC⊥BD
所以AO=BO=（AB√2）/2=2√2，OC=OD=（CD√2）/2=5√2
ABCD的面积=ABC+ADC=AC*BO/2+AC*OD/2=AC*BD/2=(AC^2)/2=(AO+CO)^2/2=49

假设一条腰是x,易见腰与底边的夹角是45度,则

(10+4)^2=x^2+x^2,

解得x=7Sqrt[2], 高h=7Sqrt[2]*Sin[45]=7

故面积A=(10+4)*7/2=49

平移其中一条对角线 AC到B点，可得（10+4）^2=2*对角线的平方
则对角线＝7＊根号2
所以面积为对角线的平方的二分之一＝49