已知a,b,c均为实数，证明ac<0是关于x的方程ax的平方+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件

其实这题是利用根与系数的关系来证明的。
证明：
充分性：因为ac<0，所以a和c异号，不妨设方程ax的平方+bx+c=0的俩个根为x1和x2，则由根与系数的关系可知，x1*x2=c/a ,因为a和c异号，故x1*x2<0，也就是说x1与x2异号，即方程有一正根和一负根。
必要性：因为方程ax的平方+bx+c=0有一正根和一负根，不妨设他们为x1和x2，则由根与系数的关系可知，x1*x2=c/a<0，故a和c异号，即ac<0，证毕。

证明ac<0是方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件

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证明：
充分性：
若ac<0，分两种情况
a>0，c<0
则f(x)=ax²+bx+c的图象开口向上，且当x=0时，f(0)=c<0，所以图象与x轴的交点在x=0的两侧，即方程ax²+bx+c=0有一正一负两个根
a<0，c>0
则f(x)=ax²+bx+c的图象开口向下，且当x=0时，f(0)=c>0，所以图象与x轴的交点在x=0的两侧，即方程ax²+bx+c=0有一正一负两个根
必要性：
若方程ax²+bx+c=0有一正一负两个根，则函数f(x)=ax²+bx+c的图象与x轴的交点分布在x=0的两侧
若a>0，抛物线开口向上，则必有f(0)=c<0，所以ac<0
或a<0，抛物线开口向下，则必有f(0)=c>0，所以ac<0
综合可得，aX^2+bX+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0