在三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,P为BC上一点,求证：PB^2+PC^2=2PA^2

因为AB=AC，所以可把三角形ACP绕点A旋转至三角形ABD，连接DP
则 DA=PA，DB=PC,角DBA=角C，角DAB=角PAC
因为 角BAC=90度，角DAB=角PAC
所以 角DAB+角BAP=角PAC+角BAP=角BAC=90度
因为 DA=PA
所以 DP^2=2PA^2
因为 角BAC=90度，角DBA=角C
所以 角DBA+角ABC=角C+角ABC=90度
因为 DB=PC
所以 DP^2=PB^2+PC^2
因为 DP^2=2PA^2
所以 PB^2+PC^2=2PA^2

过P分别作AB、AC的垂线，垂足分别为D和E
过D、E分别作BC的垂线，垂足分别为F和G
∵∠BAC=90°AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=45°
在△BDP中
∵PD⊥BD，∠B=45°
∴∠DPB=45°，BD=PD
在△BDF和△PDF中
∵DF⊥BP，∠DFB=∠DFP=90°BD=PD，DF=DF
∴△DBF≌△DPF，BF=PF=【（1/2）PB】
∵∠DFP=90°∠DPF=45°故∠FDP=45°
∴△DFP是等腰直角三角形，DF=PF
∴BF=PF=DF=（1/2）PB
∴PD^2=DF^2+PF^2={(1/2)PB}^2+{(1/2)PB}^2
（1/2）PB^2,【PD^2=（1/2）PB^2】
同理：【PG=CG=EG=（1/2）PC】
在四边形ADPE中
∵∠DAE=∠PDA=∠PEA=90°
∴四边形ADPE是矩形，AD=PE
同理：【AD^2=PE^2=(1/2)PC^2】
根据勾股定理，在Rt△ADP中
AP^2=AD^2+PD^2=(1/2)PC^2+（1/2）PB^2
=(1/2)(PC^2+PB^2)
2AP^2=PC^2+PB^2

题完整吗？

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