一道近世代数证明题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/16 16:24:03
设R1,R2都是包含非零元的环,证明:R1⊕R2不是无零因子环
这个问题我后来已经想出来了,就不用麻烦大家了.不过下面一个证明题还需要大家帮忙求解,题目如下:
证明:有限无零因子的非零环是除环?
另外,整环,域,除环之间有什么区别?

首先，该环显然有非零元，因为否则它就是零环了。

其次，对任意非零元素a，用反证法证明a必有逆元。
考虑a和环内每一个元素的乘积：
ab_1, ab_2, ..., ab_n.
（n是环的阶）
如果a没有逆元，则这n个积必然没有一个等于1。所以根据抽屉原则，必然存在ab_i=ab_j (i不等于j)
因此得到
a(b_i-b_j)=0
而a和b_i-b_j都不等于0，所以环内有零因子。矛盾。