代数证明题: 最大公约数

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/05/06 06:17:40

证明: 方程 a^2 + b^2 + c^2 = d^2
(a,b,c,d)有无限个 a,b,c,d为正整数且gcd(a,b,c,d)=1 的答案.

就是要证明有无数个a,b,c,d的正整数组合. gcd=greatest common dividro=最大公约数

构造法。
设m,n为互质并且一奇一偶的正整数。gcd(m,n)=1
a=2×m×m,即2乘以m的平方
b=n×n
c=2×m×n
d=2×m×m+n×n
代入验证即可满足等式。
由m，n的任意性即知符合无限性的要求。
这个结果来源于二项式展开和丢番图的勾股数公式。
具体互质的证明还要用到反证法。