设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a、b、c都属于实数）f（1)＝－a/2，a＞2c＞b

deng
证明:1. f（1)＝－a/2,即a＋b＋c=－a/2,则3a+2b+2c=0
由a＞2c＞b，3a+2b+2c=0＞3b+2b+b，所以b＜0
3a+2b+2c=0＜3a+2a+a 即a＞0
则a＞0，b＜0
2.要证明f（x）＝0至少有一个根在（0,2）内，即只需证f（0）f（2）＜0
则f（0）f（2）=c（4a+2b+c）而c=-（3a+2b）/2
因为a＞2c＞b，所以a＞-（3a+2b）＞b …….
得-2＜b/a＜-1
所以f（0）f（2）=-（3a+2b）/2{4a+2b +(-（3a+2b）/2)}
=-1/4（15 a²+4b²+16ab）
=-1/4 （3a+2b）（5a+2b）
=-1/4 （3a+2b）（a+4a+2b）
因为由①可推出3a+2b＞0 ，4a+2b＞0，所以a+4a+2b＞0，
所以f（0）f（2）＜0
即f（x）＝0至少有一个根在（0,2）内
3.令ax²＋bx＋c=0得的两根为x1，x2，即Δ>0
Δ=b²-4a c= b²+2a（3a+2b）= b²+4ab+6a²=1/a²{（b/a+2）²+2}>0
显然恒成立
所以|x1-x2|=√{（x1+x2）²-4 x1x2}=√{（b/a）²-4 c/a }=√{（b/a+2）²+2 }
因为-2＜b/a＜-1，
即√2＜|x1-x2|＜√3