一道数学的数列积偶问题

解：按照题意可得数列为
1 2 4 6 9 12 16 20 25 30
规律如下：
将n为奇数（n=2k-1）的数列取出 得到 1 4 9 16 25
可作出假设a(2k-1)=k^2 ,k取>=1的整数……①
将n为偶数(n=2k)的数列取出 得到 2 6 12 20 30
可作出假设a(2k)=a(2k-2)+2k, k>=2,a2=2
用叠加法可以得出 a(2k)=(1+k)*k k取>=1的整数(K=1时候a2=2符合) ……②

因为当n=2k-1为奇数时，a(n+1)^2=an*a(n+2)
代入n=2k-1得到 a(2k)^2=a(2k-1)*a(2k+1)……③ （k>=1整数）
因为当n=2k为偶数时，2a(n+1)=an+a(n+2)
代入n=2k 得到 2a(2k+1)=a(2k)+a(2k+2) ……④ （k>=1整数）

根据假设①②两式 得知a(2k)^2=(1+k)^2*k^2
a(2k-1)*a(2k+1)=k^2*(k+1)^2 ，（k>=1整数）
将两等式代入③成立

根据假设①②两式 得到2a(2k+1)=2(k+1)^2
a(2k)+a(2k+2)=(1+k)*k+(1+k+1)*(k+1)=2(k+1)^2 ，（k>=1整数）
将两等式代入④成立

综上所述，①②两个假设都成立
即an的通式为
n为奇数（n=2k-1）时，a(2k-1)=k^2 ，k取>=1的整数
将n=2k-1代入即得 an=(n+1)^2/4 ，n为奇数
n为偶数(n=2k)时，a(2k)=(1+k)*k ，k取>=1的整数,
将n=2k代入 即得 an=(1+n/2)*n/2=(2n+n^2)/4 ，n为偶数

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