已知函数f(x)满足f(logax)=(a/a^2-1)(x-x^-1)其中a>0,且a不为1,求f(x)

令logax=u, 则x=a^u,带入函数中
f(u)=(a/a^2-1)[a^u-a^(-u)],
所以f(x)=(a/a^2-1)[a^x-a^(-x)]
又因为
f(-x)=(a/a^2-1)[a^(-x)-a^(x)]
=-(a/a^2-1)[a^x-a^(-x)]=-f(x),
所以f(x)为奇函数。

取x=a^x,代入立即得，f(x)=(a/a^2-1)(a^x-a^-x)
当a≠0，为奇函数，当a=0时，为即奇又偶函数。
单调性，在当0<a<1时为增函数，当a>1时也为增函数。用定义证。