已知三角形ABC，延长BC到D，使BD=2AB，连接AD，AC为BD的中线，＜B=2＜D,求证△ABC是等边三角形

＜B=2＜D, 什么 意思

正余弦定理学过吗？全化为边或全化为角来判断三角形形状是很常用的方法
假设∠B对应的边为b，b为未知数。
∵BD=2AB且AC为BD的中线
∴AB=BD=DC
∵∠B=2∠C
设∠C对应角度数为α，那么∠B=2α
我们假定AB=BD=DC=X （X为已知数），那么
在△ABD内
根据余弦定理[对于任意三角形 三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质：
a²=b²+c²-2*b*c*CosA]
b²=X²+X²-2*X*X*cos2α=2X²-2X²cos2α
2倍角的余弦化出来
cos2α=1-2sin²α
代进去，b²=2X²-2X²（1-2sin²α）=4X²sin²α
b=2Xsinα

在△ACD内，∠DAC=90°-2α
正弦定理（a/sinA=b/sinB=c/sinC）
b/sinα=X/sin（90°-2α）
这个地方就应该把X算出来
X=b/2sinα

把前面b=2Xsinα和X=b/2sinα比较下，发现是一样的，说明X=b，就说明AD=AB=BD。所以△ABC是等边三角形

我这样做可能麻烦的很。
也许有人有比我更简单的方法。
但是我真不知道更简单的了。我已经没学数学5年了……