已知二次函数f(x)满足f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)

令f(x)=ax^2+bx+c
由f(0)=0得c=0
则f(x)=ax^2+bx
由f(x+1)=f(x)+x+1得 a(x+1)^2+b(x+1)=ax^2+bx+x+1

整理得 (2a-1)x+a+b-1=0
要此式对任意x都成立则要 2a-1=0 a+b-1=0
即 f(x)=(1/2)x^2+(1/2)x

令x为整数
f(x+1)-f(x)=x+1
f(x)-f(x-1)=x
....
f(1)-f(0)=1
所有相加得
f(x+1)-f(0)=1+2+...+(x+1)
f(x+1)=(x+1)(x+2)/2
f(x)=x(x+1)/2
当然这只是在x=整数时
但是对于任意实数
f(x+1)-f(x)=(x+1)(x+2)/2-x(x+1)/2
=x+1
所以f(x)=x(x+1)/2

因为f(0)=0
f(0+1)=f(0)+X+1 f(1)=0+X+1 f(1)=X+1
f(2)=f(1)+X+1 f(2)=X+1+X+1=2(X+1)
f(3)=f(2)+X+1 f(2)=2(X+1)+X+1=3(X+1)
所以f(X)=X(X+1)