已知正三棱锥S-ABC中,M,N分别是SC,BC中点，MN垂直AM，若侧棱SA等于2根号3，

方法一：不用太复杂，教你一个简单办法！！
因为是正三棱锥，所以SB垂直AC。MN平行SB，所以SB垂直AM。
所以SB垂直面SAC。
同理，由正三棱锥的对称性可知，SA垂直面SBC，SC垂直面SAB。
所以SA、SB、SC两两垂直。
接下来，将S-ABC还原为一个正方体，其外接圆半径即为正方体对角线的一半，即R=√3a/2，外接球的表面积S=4πR^2=3πa^2
方法二：SA=SB=SC=a
so we can make AB=BC=CA=b,
通过a&b的关系，求解整个图形的形状，because知道边的数量关系就可以找圆心了。
数量关系在哪呢？MN垂直于AM
勾古定理可得AN^2=AM^2+MN^2
底面已设AB=BC=CA=b,so we can know that AN=b*（√3）/2
中线定理，有MN=1/2*SB=1/2*a

AM=？，AM是ΔSAC在SC边上的中线，cos∠SCA=cos∠SAC=b/2a
在ΔAMC中，MC=a/2，AC=b，AM=x，cos∠SCA=b/2a
用余弦定理，cos∠SCA=(MC^2+AC^2-AM^2)/2*AC*MC
解得(a^2)/4+(b^2)/2=x^2，x=AM

代回AN^2=AM^2+MN^2，解得b^2=2*(a^2),in another words,b=√2*a

终于知道了，AB=BC=CA=b=√2*a
我相信下面的你会解，
if 底中心为P，ΔSPC为直角三角形。
SC=a，PC=（√6）/3*a，SP=√3/3*a
S-ABC外接球半径为R=√3/2*a，圆心在形外。
外接球的表面积S=4*π*R^2=3πa^2