中值定理证明

f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导
存在m∈(a,c),n∈(c,b),
f'(m)=(f(a)-f(c))/(a-c)>0
f'(n)=(f(c)-f(b))/(c-b)<0
f'(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导
存在ξ属于(m,n),使得f"(ξ) = (f'(m)-f'(n))/(m-n) <0.
ξ∈[a,b]

在[a,c]用Lagrange中值定理:有d∈（a,c）,
f（c）－f（a）＝f′（d）（c－a）.∴f′（d）＞0.
在[c,b]用Lagrange中值定理:有e∈（c,b）,
f（b）－f（c）＝f′（e）（b－c）.∴f′（e）＜0.
对f′（x）,在[d,e]用Lagrange中值定理:有ξ∈（d,e）,（ξ∈（a,b））,
f′（e）－f′（d）＝f〃（ξ）（e－d）.
∵f′（e）－f′（d）＜0.e－d＞0.
∴f〃（ξ）＜0.