二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x-3,且f(1)+f(2)=3

Ⅰ.1.设f(x)=ax²+bx+c
则f(x+1)-f(x)=a(x+1)²+b(x+1)+c-ax²-bx-c=2ax+(a+b)=2x-3.
∴2a=2，a+b=-3
解得a=1，b=-4
又 f(1)+f(2)=a+b+c+4a+2b+c=5a+3b+2c=2c-7=3
∴c=5
故f(x)=x²-4x+5
2.f(x)=x²-4x+5=(x-2)²+1
∴f(x)在(-∞，2]上为减函数，在[2，+∞)上为增函数
最小值为1，无最大值.

a=0 时 ax^2+2ax+1>0显然成立 (1)
若0<a<=1 则由 ax^2+2ax+1>0 有 (x+1)^2>1-1/a 恒成立
故 （x+1)^2>max(1-1/a) （即 1-1/a的在a<-（0，1]最大值）
即 （x+1)^2>0 (2)
若-1<=a<0 则由 ax^2+2ax+1>0 有 (x+1)^2<1-1/a 恒成立
故 （x+1)^2<min(1-1/a) （即 1-1/a的在a<-[-1，0)最小值）
即 （x+1)^2<2 (3)
由(1)(2)(3)
有 0<（x+1)^2<2 即 。。。

设 f(x)=ax^2+b*x+c
由f(x+1)-f(x)=a(2x+1)+b=2x-3
有 2a=2 a+b=-3 => a=1,-4
故 f(x)=x^2-4x+c
又 f(1)+f(2)=(-3+c)+(-4+c)=-7+2c=3 => c=5
故 f(x)=x^2-4x+5
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