若A,B,C为不全相等的实数,且A+1/B=B+1/C=C+1/A=P,求P的所有可能取值,并证明ABC+P=0

A+1/B=B+1/C
=>
A-B = (B-C)/BC
同理：
B-C = (C-A)/AC
C-A = (A-B)/AB
相乘：
若A，B，C中有两个数相等，不妨设A=B,则有B=C,矛盾。
故三个数全不相等
则：
AABBCC = 1
=>
ABC = ±1
若：
ABC=1
=>
A+1/B = B + AB
=>
AB + 1 = BB + ABB
=>
AB(B-1)+(B+1)(B-1)=0
=>
(B-1)(AB+B+1)=0
则
1.B=1
=>
A+1=2C
AC=1
=>
A=-2,C=-1/2
此时P=-1
或者：
2.AB+B+1=0
此时P = B+1/C = B+AB=-1
两种情况都有ABC+P=0

若ABC=-1
AB+1=BB-ABB
=>
(AB-B+1)(B+1)=0
1.B=-1
=>
AC=1
A-1=2C
=>
A=2,C=1/2
此时P=1
2.
AB-B+1=0
P=B+1/C = B-AB = 1

综上：
P可取1，-1，且均有ABC+P=0