M,N分别是正方形ABCD两边AD,DC的中点,CM与BN于P,求PA=AB

假设正方形边长为2,
则有:
BC=CD=2
CN=DM=1
角BCN=角CDM=90度
得知三角形BCN与三角形CDM全等,
因此角CNP,即角CNB=角DMC,且BN=CM
因角DMC+角DCM=90度
所以角CNP+角NCP(即角DCM)也等于90度
可判断角NPC=90度, 即BN与CM垂直.

因此可以推出三角形CPN与三角形CDM相似, 三角形BPC与三角形BCN相似,
CN:CM=CP:CD,即1:CM=CP:2
即CP=2:CM, 而CM=(1+4)的平方根, 即根号5,
即CP=2/根号5=2/5根号5, 为表述方便, 表示根号5为K,
CP=2/5K
在三角形BPC与BCN相似的关系中, 同样可以得出:
BP:BC=PC:CN, 代入BC=2, CN=1
得BP=4/5K;
同样在三角形CPN与三角形CDM相似的关系中,可得出:
PN:NM=CP:CD, 代入NM=1, CD=2
得PN=1/5K

从A点向BP做垂线, 交BP于Q点, 形成直角三角形AQB, 角BAQ与角CBP的两边均互相垂直, 所以该两角相等, 而角ABQ和角BCP也因两边互相垂直而相等, 加上AB=BC, 因此直角三角形AQB和直角三角形BPC全等,
得BQ=PC=2/5K,
线段QP=BP-BQ=4/5K-2/5K=2/5K,
至此, 直角三角形AQB和AQP中, 两直角边相等, 可以推出二者全等, 即PA=AB.