已知函数f(x)=x立方+x(x属于R)若a,b,c属于R,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,试证明:f(a)+f(b)+f(c)>0

首先我们考察函数f(x)=x³+x的单调性,
因为y=x^3,y=x都是单调递增函数,因此f(x)=x³+x在R上是单调递增的
下面我们考察函数的奇偶性
f(-x)=(-x)^3+(-x)=-(x^3+x)=-f(x)
函数是奇函数
a+b>0
a>-b
f(a)>f(-b)=-f(b)
所以f(a)+f(b)>0..................(1)
同理,可以得b+c>0,c+a>0
f(b)+f(c)>0.............(2)
f(c)+f(a)>0...........(3)
(1)+(2)+(3),得
2[f(a)+f(b)+f(c)]>0
也就是f(a)+f(b)+f(c)>0

f(a)+f(b)+f(c)=a^3+a+b^3+b+c^3+c

2(a^3+a+b^3+b+c^3+c)
=(a^3+b^3+a+b)+(a^3+c^3+a+c)+(b^3+c^3+b+c)

a^3+b^3+a+b
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+(a+b)
a^2-ab+b^2=(a-b/2)^2+3b^2/4>=0
a+b>0
所以(a+b)(a^2-ab+b^2)>=0
所以(a+b)(a^2-ab+b^2)+(a+b)>0
即a^3+b^3+a+b>0
同理
a^3+c^3+a+c>0
b^3+c^3+b+c>0
所以2(a^3+a+b^3+b+c^3+c)>0
所以a^3+a+b^3+b+c^3+c>0
所以f(a)+f(b)+f(c)>0