UC知道几个代数题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/29 14:12:30
设A,B分别是n×1，1×m矩阵，且AB=C≠0，则C的秩是（）
设3维线性空间V的线性变换A有三个特征值1，2，0，则A的值域AV的维数是（） ，B=A^2+E 的值域BV的维数是（）
设A,B分别是n×r，r×m矩阵，A,B的矩阵都是r，证明AB的秩也是r。
设A,B都是n阶矩阵，其中A可逆，证明秩（A-B)≥秩（A)-秩（B),并且等是成立当且仅当B-1AB=B (B-1 是B的逆矩阵）
后两题的具体过程解释详细点，谢谢！
设3维线性空间V的线性变换A有三个特征值1，2，0，则A的值域AV的维数是（） ，B=A^2+E 的值域BV的维数是（）
设A,B分别是n×r，r×m矩阵，A,B的矩阵都是r，证明AB的秩也是r。
设A,B都是n阶矩阵，其中A可逆，证明秩（A-B)≥秩（A)-秩（B),并且等是成立当且仅当B-1AB=B (B-1 是B的逆矩阵）
后两题的具体过程解释详细点，谢谢！
1. 0或1
2. 2；3
3. 利用行初等变换把A和B'都化成上三角阵即可。
4. 构造
B 0
0 A-B
利用初等变换即可。
等式成立条件不对，应该是BA^{-1}B=B
第三题写错了，难怪你看不懂，就帮你把第三题写详细些，第四题够清楚了，细节自己补。
取n阶可逆阵P(利用Gauss消去法)，使得
PA=
R
0
其中R是r阶上三角阵，且对角元都非零。
取m阶可逆阵Q，使得
QB'=
L
0
其中L是r阶下三角阵，对角元非零。
于是
PABQ'=
RL' 0
0 0
rank(AB)=rank(PABQ')=r。