设a、b为任意实数，求证（x-a)(x-a-b)=1，两个实数根中，一根大于a，一根小于a .

(x-a)(x-a-b)=1
x^2-(2a+b)x+a(a+b)-1=0
x1+x2=2a+b
x1x2=a(a+b)-1

(x1-a)(x2-a)
=x1x2-a(x1+x2)+a^2
=a(a+b)-1-a(2a+b)+a^2
=a^2+ab-1-2a^2-ab+a^2
=-1<0
所以(x1-a)(x2-a)<0
所以x1-a和x2-a一正一负
x1和x2一个大于a，一个小于a
即一根大于a，一根小于a .

x^2 - (2a+b)x + a^2 + ab -1 = 0
△ = (2a+b)^2 - 4*(a^2 + a*b -1) = b^2 + 4 > 0

故有两实数根
为x1 = ((2a+b) + √(b^2 + 4))/2 >((2a+b) + √(b^2))/2 = a+b+|b|>a
x2 = ((2a+b) - √(b^2 + 4))/2 < ((2a+b) - √(b^2))/2 = a+b-|b|<a

定义函数f(x)=(x-a)(x-a-b)-1，
容易知道，x=a时f(x)=-1<0。
但是这个函数是开口向上的二次函数，因此必然与x轴有两个交点，这两个交点当然位于a的两侧。

解：设f(x)=(x-a)(x-a-b)-1,则f(x)是一个开口向上的抛物线
因为f(a)=-1<0,所以f(x)=0必有两个实数根，一根大于a,一根小于a.
证毕！