UC知道关于伴随矩阵的特征值问题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/29 20:17:29
昨天期末考试（北大），线性代数最后一个证明题没做出来，如下：
已知A*是n阶方针A的伴随阵
证明：当r（A）=n-1时，如果A*有零特征值，那么A*的零特征值一定是n-1重特征值
第二问，求这个零特征值
我自己计算的是，如果r（A）=n-1<n，那么|A|=λ1λ2...λn=0
也就是说A*的特征值λi=λ1λ2...λi-1λiλi+1...λn/λi根本不可能等于0，不知道怎么去证明，不知道高手怎么想？
谢谢
已知A*是n阶方针A的伴随阵
证明：当r（A）=n-1时，如果A*有零特征值，那么A*的零特征值一定是n-1重特征值
第二问，求这个零特征值
我自己计算的是，如果r（A）=n-1<n，那么|A|=λ1λ2...λn=0
也就是说A*的特征值λi=λ1λ2...λi-1λiλi+1...λn/λi根本不可能等于0，不知道怎么去证明，不知道高手怎么想？
谢谢
其实关键就是证明出：
r(A*)=1,楼上已经说明了
AA*=|A|E=0
所以r(A*)<=n-R(A)=n-(n-1)=1
（A*是Ax=0解的一部分）
然后用概念也就可以了：
(0E-A*)x=0
解中线性无关组的个数为：n-r(-A*)=n-1
所以一定是n-1重的
第二问
由于这一共有n个线性无关的向量，所以，一定可以相似对角化
所以A11+A22+A33+...Ann=T+0+0+0...+0
所以非零特征值就是
A11+A22+A33.....了。。。
楼主的题目有些问题，应该是这样的：
已知A*是n阶方针A的伴随阵
证明：当r（A）=n-1时，如果A*有非零特征值，那么A*的零特征值一定是n-1重特征值
第二问，求这个非零特征值
r（A）=n-1时，A(A*)=|A|E=0,可知r(A*)<=1
而又知，A*中至少有一个元素不为零，因此r(A*)>=1,综上所述，r（A*）=1
如果A*有非零特征值，说明A*的不为零的元素在对角线上出现，不妨设该元素为Aii，那么可知，A*的特征值为0（n-1重）和Aii（单根）
建议问问老师