边长为a的正三角形abc内有一边长为b的内接正三角形def,则三角形aef的内切圆半径为

首先你要知道：三角形的面积等于三角形的周长*内切圆的半径的一半。在这个题目中，三角形AEF与三角形BED，CFE是全等的，则AE+AF=A，所以三角形AEF的面积等于1/2*（AE+AF+EF）=（a+b)/2.再三角形AEF的面积还等于三角形ABC的面积(√3a^2/4)-三角形DEF的面积(√3b^2/4)的三分之一，即(a+b)r=1/3*(√3a^2/2-√3b^2/2),化简，得r=√3(a-b)/6

解：边长为b的内接正三角形DEF，内接于边长为a的正三角形ABC
则∠A=∠B=∠EFD=60°,AB=a，EF=DF=b
∠AFE+∠BFD=∠BDF+∠BFD=120°
所以∠AFE=∠BDF
△AFE≌△BDF ， 同理可证△AFE≌△CED
所以AE=BF
AF+BF=a
所以AF+AE=a
设三角形AEF的内切圆圆心为O,半径为r
s△AFE
=s△OAF+s△OAE+s△OEF
=AF*r/2+AE*r/2+EF*r/2
=（AF+AE+EF)r/2
=(a+b）r/2
s△ABC=1/2*AB*AC*sin60°=√3a²/4 【初中也可作公式使用】
s△DEF=1/2*DE*DF*sin60°=√3b²/4
因为△AFE≌△BDF≌△CED
所以s△AFE=s△BDF=s△CED
所以3s△AFE+s△DEF=s△ABC
即3*(a+b）r/2+√3b²/4=√3a²/4
3(a+b）r/2=√3a²/4-√3b²/4
3(a+b）r/2=√3（a²-b²）/4
r=√3（a-b）(a+b）/4*2/[3(a+b）]=√3(a-b)/6
三角形AEF的内切圆半径为√3(a-b)/6

非常感谢 侠之零下 的回答