求大家帮忙解道高等数学题!

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/29 07:29:19
(本大题10分)
已知上半平面内一曲线y=y(x) (x≥0)过点(0,1)，且曲线 上任一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴，y轴，直线x=x0所围成的面积与该点纵坐标之和，求此曲线方程。

df／dx＝∫（0,x）f（t）dt+f（x）.
f〃（x）＝f（x）+f′（x）
r²-r-1＝0
r＝（1±√5）／2
f（x）＝ae^[（（1+√5）／2）x]+be^[（（1√5）／2）x]
从f（0）＝1.得a+b＝1
所求曲线方程：y＝ae^[（（1+√5）／2）x]+be^[（（1√5）／2）x]
（a+b＝1）.

微分方程的题目，根据条件:

dy/dx=∫<0,x>ydx或者dy/dx=-∫<0,x>ydx；

对上面求导：d^2y/dx^2-y=0或者d^2y/dx^2+y=0;

是常微分方程，很容易求解：
y=c1e^x+c2/e^x或者y=c1cosx+c2sinx；

第一个代进原方程得c1=c2,过点(0,1)，c1=c2=1/2,y=1/2(e^x+1/e^x);
第一个代进原方程得c2=0,过点(0,1),c1=1,y=cosx;