一道数学代数式的题

解：
x^2=x+1……………………（1）
y^2=y+1……………………（2）
由（1）式-（2）式得：x^2- y^2=x-y 因为x≠y 所以 x+y=1
由（1）式+（2）式得：x^2+ y^2=x+ y +2=3
由x•（1）式+y•（2）式得：x^3+y^3= x^2+y^2+x+y=4
由x^2•（1）式+y^2•（2）式得：x^4+y^4= x^3+y^3+ x^2+y^2=7
由x^3•（1）式+y^3•（2）式得：x^5+y^5= x^4+y^4+ x^3+y^3=11

……
对于x^n+y^n (n=1、2、3、……）
x^n+y^n
=(1/√5){【（1+√5)/2】^n-【（1-√5)/2】^n}+(2/√5){【（1+√5)/2】^(n-1)-【（1-√5)/2】^(n-1)}
注：√5表示5的平方根。
(参考：斐波那契数列 http://baike.baidu.com/view/816.htm）

x^2=x+1,y^2=y+1
x^2-x-1=0,y^2-y-1=0
x≠y
所以x和y是方程a^2-a-1=0的两个根
由韦达定理
x+y=1,xy=-1

x+y=1
两边平方
x^2+2xy+y^2=1
x^2+y^2=1-2xy=3

x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=1*[3-(-1)]=4

所以x^5+y^5
=(x^2+y^2)(x^3+y^3)-x^2y^3-x^3y^2
=(x^2+y^2)(x^3+y^3)-(xy)^2(x+y)
=3*4-(-1)^2*1
=11

伟大定理你去百度查