已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)若f(x)是R上的增函数

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/21 12:15:48
已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)若f(x)是R上的增函数,是否存在点P,使f(x)的图象关于点P中心对称?如果存在,请求出点P坐标,并给出证明,如果不存在,请说明理由.

假设a,b,c不全相等，不妨设a＜b≤c
则任取x1<a，a<x2<b,x3=c，
显然x1<x2<x3，
且f(x1)<0，f(x2)>0，f(x3)=0
则f(x)在R上不是单调函数，与已知条件矛盾
所以a=b=c。
设a=b=c=m，则f(x)=(x-m)^3
对任意实数x，总有f(m+x)=x^3，f(m-x)=-x^3
因此f(m+x)=-f(m-x)对任意实数x恒成立
所以f(x)关于(m,0)对称。
所以存在P(m,0)使f(x)的图象关于点P中心对称。