已知a大于0,b大于0,a+b=1,求证(a+1/a)(b+1/b)大于或等于25/4
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/05/27 04:44:07
由均值不等式
a+b≥2√ab
ab≤1/4
证法一
(a+1/a)(b+1/b)
=(a^2+1)/a*(b^2+1)/b
=(a^2b^2+a^2+1+b^2)/ab
=[a^2b^2+(a+b)^2-2ab+1]/ab
=[a^2b^2+(1-2ab)+1]/ab
=[(ab-1)^2+1]/ab
(ab-1)^2+1≥25/16
0<ab≤1/4
(a+1/a)(b+1/b)≥25/4得证
取等号时a=b=1/2
证法二
(a+1/a)(b+1/b)
=ab+1/ab+a/b+b/a
[均值不等式]
≥ab+1/ab+2
[f(x)=x+1/x在x∈(0,1]上单调递减]
≥1/4+1/(1/4)+2
=25/4
取等号时a=b=1/2
(a+1/a)(b+1/b)
=ab+1/ab+a/b+b/a
>或=2+ab+1/ab-------此时取等号是a=b
由基本不等式有
a+b>或=2根号ab,所以ab<或=1/4
设g(x)=x+1/x,求导得在四分之一到正无穷的范围内,取到的最大值是g(1/4)=4+1/4-----------------------此时取等号是a=b
综上,(a+1/a)(b+1/b)大于或等于2+4+1/4=25/4
已知A大于0,B、C小于0,C大于B,则|C|-|C+B|-|A-C|-|B+A|=( )
已知:a大于0 b大于0 a+b=9 求ab的最大值
已知a大于b大于0,且a的平方加b的平方等于3ab,求a加b分之a加b的值
已知a大于b大于0,且a的平方加b的平方等于3ab,求(a减b)分之(a加b)的值
已知A,B,C是三角形的三边,求证:(a×a+b×b-c×c)-4a×a×b×b的值一定大于0.
A为什么大于B
已知实数a,b,c满足:a小于0,a-b+c大于0,试说明b方-4ac大于0
已知a>0,b>0,求证a/根号b+b/根号a大于等于根号a+根号b
已知a>0,b>0,求证(a/根号b)+(b/根号a)大于等于(根号a)+(根号b)
若a大于b,c大于d,且(c-a)(d-b)大于0,(d-a)(d-b)小于0判断a b c d 的大小关系)