数学题，达人来。急。在线等。

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/02 23:14:40
正方形ABCD，P点为对角线上一点，过P点做直线GH，EF分别交AD于G，BC于H,AB于E，CD于F，则所得四边形EBHP和四边形CPFD均为正方形。
（1）试说明正方形GPFD与正方形EBHP的面积和不小于长方形AEPG与长方形PHCF的面积和。
（2）在什么条件下前面的两正方形的面积于两个长方形的面积和相等。
（因时间关系，图不太好，谅解。）

解:
(1)因为这是一个轴对成图形,不妨令DG≥AG,DF≥CF,由已知得:
DG×DC≥AG×AB
在图中有:DF=FP=GP=AE=CH=DG,AG=EP=BH=BE=PH=CF
即有:DG×(DF-CF)≥AG×(AE-BE)
DG×DF-DG×CF≥AG×AE-AG×BE
DG×DF+AG×BE≥AG×AE+DG×CF
DG×DF+BH×BE≥AG×AE+HC×CF
即有:S正方形GPFD+S正方形EBHP≥S长方形AEPG+S长方形PHCF
(2)由(1)可知.DG=AG=DF=CF,即P点在正方形ABCD中心时.有
DG×DF+BH×BE = AG×AE+HC×CF

设长为1，小正方形长为A，则另一正方形长1-A
面积和为A*A+（1-A）*（1-A）=A^2+A^2+1-2A=2A^2+1-2A

长方形面积为 A（1-A）+A*（1-A）=2A-2A^2

2a^2+1-2a-2a+2a^2=4A^2-4A+1=(2A-1)^2 不小于零
所以命题1得证
2、相等即2A-1=0 A=0.5时相等

设BH=b,HC=a

则S1=b^2+a^2,S2=2ab

由基本不等式a^2+b^2 ≥ 2ab ,当a=b,也就是等分成四个正方形时相等