证明，任意7个整数中必存在4个数，他们的和能整除4

(1)设有7个整数,它们是0,1,2,3中的任意数,这7个整数可以任意重复，我们可以证明，这7个整数中必存在4个数，他们的和能整除4。
证明如下：

显然这7个整数中，可以有7个数，6个数，5个数，或4个数重复，这些情况下，其中的4个重复数的和当然能整除4。

如果这7个整数中，有最多3个数重复，我们将所有可能的情况都列举出来，发现一定能有四个数，他们的和能整除4。

如果这7个整数中，有最多2个数重复，我们也将所有可能的情况都列举出来，发现一定能有四个数，他们的和能整除4。

这样我们就证明了：如果7个整数,它们是0,1,2,3中的任意数,这7个整数可以任意重复，那么这7个整数中必存在4个数，他们的和能整除4。

(2)显然任意整数,一定可以写成4k, 4m+1, 4n+2, 4p+3中的一个（其中k,m,n,p为任意整数），因此：
任意4个整数的和=一个4的倍数 + 在0，1，2，3中4个整数的和

又因为有了（1）的结论，
所以任意7个整数中必存在4个数，他们的和能整除4。