如图,在三角形ABC中,∠ACB-∠ABC=90°,∠BAC的内,外角平分线分别交BC或其延长线于点T,T1,求证:AT=AT1

证明:
∵在△ABC中,∠BAC的内,外角平分线分别为AT,AT1
∴AT⊥AT1 (三角形一个内角的内外角平分线相互垂直)
∵AT为∠BAC的角平分线
∴∠CAT=∠TAB
∵∠ACB=∠ABC+90°(已知)
∠CAB+∠ABC+∠BCA=180°(三角形内角和为180°)
∴∠CAT+∠TAB+∠ABC+∠ABC+90°=180°
∴∠TAB+∠ABC=45°
∵∠ATC=∠TAB+∠ABC=45° (三角形两内角和等于第三角外角)
∴在△ATT1中,AT⊥AT1 ∠ATC=45°
∴∠T1=45°
∴△ATT1为∠TAT1=90°的等腰直角三角形
∴AT=AT1
得证