1/(a+bsinx)的积分如何推导出？

可以用万能代换公式
sinx=2tan(x/2)/[1+tan(x/2)^2]
(因为sinx=2sin(x/2)cos(x/2)/[sin(x/2)^2+cos(x/2)^2] 分子分母同除以cos(x/2)^2就得到上式）
∫1/(a+bsinx)dx
=∫1/(a+b*2tan(x/2)/[1+tan(x/2)^2])dx
令t=tan(x/2)
dx=2/(1+t^2)dt
原式=∫1/[a+2bt/(1+t^2)]*2/(1+t^2)dt
=∫2/(at^2+2bt+a)dt
=2/a∫1/[(t+b/a)^2+1-b^2/a^2]d(t+b/a)
令u=t+b/a
原式=2/a∫1/[u^2+1-b^2/a^2]du
=2/[a根号(1-b^2/a^2)]∫1/{[u/根号(1-b^2/a^2)]^2+1}d[u/(根号1-b^2/a^2)]
=2/[a根号(1-b^2/a^2)]*arctan[u/根号(1-b^2/a^2)]
将u代换为x
所以∫1/(a+bsinx)dx
=2/[a根号(1-b^2/a^2)]*arctan{[tan(x/2)+b/a]/根号(1-b^2/a^2)}

将sinx用万能公式展开，即
sinx=2tan(x/2)/[1+tan^2(x/2)]；
然后换元，令 y=tan(x/2),则 x=2arctany, dx=[2/(1+y^2)]dy,所以原积分化为

S {1/[a+2by/(1+y^2)]}[2/(1+y^2)] dy
=S 2/[ay^2+2by+a] dy
=(2/a)* S 1/[(y+b/a)^2+(a^2-b^2)/a^2] d(y+b/a)

无论(a^2-b^2)/a^2 大于、小于 或 等于 0，上面的积分都很容易：大于0时有对应的公式（应该积出来是arctan的形式）；小于0时也有公式（或将分母分解为平方差，然后列项）；等于0时直接用幂函数的积分公式。

Y’=[1/(a+sinx)]’=-[1/(a+sinx)^