椭圆,y2+x2/4=1过原点的直线交椭圆于b,c两点,a(1,1/2),求三角形abc的最大面积

设,过原点的直线方程为Y=KX,
kx-y=0.
令,三角形ABC以底边AB为边的边上的高为h,则有
h=|K-1/2|/[√(1+k^2)].
令,点A坐标为(X1,Y1),点B坐标为(X2,Y2).
AB^2=(X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2,
而,Y^2+X^2/4=1,KX-Y=0,
(KX)^2+X^2/4=1,
(4K^2+1)X^2-4=0.
X1+X2=0,
X1*X2=-4/(4K^2+1),
(X2-X1)^2=(X1+X2)^2-4X1*X2=16/(4K^2+1),
(Y2-Y1)^2=K^2*(X2-X1)^2=16K^2/(4K^2+1),
AB^2=[16(K^2+1)]/(4K^2+1),
AB=4√[(K^+1)/(4K^2+1)],
h=|K-1/2|/[√(1+k^2)].
S-ABC面积=1/2*AB*h=1/2*4√[(K^+1)/(4K^2+1)]*|K-1/2|/[√(1+k^2)]
=|2k-1|/√(4k^2+1)
=√[(4k^2+1-4k)/(4k^2+1)]
=√[1-4k/(4k^2+1)]
=√[1+4/(4k+1/k)].
而,4K+1/K≥2√(4K*1/K)=4,当且仅当4K=1/K时,取等号,此时K^2=1/4,
K1=1/2,K2=-1/2.
要使S-ABC面积有最大值,K须满足K=-1/2.此时S-ABC最大.
S-ABC面最值=√(1+8/5)=√65/5.
三角形abc的最大面积为:√65/5.