UC知道四面体中的几何不等式
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/27 17:34:20
不只是简单的任意三面面积之和大于第四面。结合类似于四面体相邻两面有一条棱相等这类关系，似乎存在一个更具体、更强的结论。
望高手指教。
云雨 辛苦了……
不过能不能不引入二面角，得到一个只和四个面面积有关的“不等式”？
似乎见过这个结论，但是印象不深，好像有个常数是个重根式？
拜托……还有高手么？
设四面体的四个顶点为 A(1)、 A(2)、 A(3)、 A(4) ； 三角形 A(i)A(j)A(k) 的面积 记作 S(10-i-j-k) ；平面 A(i)A(j)A(k) 与平面 A(i)A(j)A(t) 所成的包含四面体的二面角的平面角的大小记作 α(k,t) 。 则由面积射影有 S(1)=S(2)*cos[α(1,2)]+S(3)*cos[α(1,3)]+S(4)*cos[α(1,4)] ， S(2)=S(1)*cos[α(2,1)]+S(3)*cos[α(2,3)]+S(4)*cos[α(2,4)] ， S(3)=S(4)*cos[α(3,4)]+S(1)*cos[α(3,1)]+S(2)*cos[α(3,2)] ， S(4)=S(1)*cos[α(4,1)]+S(2)*cos[α(4,2)]+S(3)*cos[α(4,3)] ； 由上面四式可得 S??(1)=S??(2)+S??(3)+S??(4)-2*S(4)*S(2)*cos[α(4,2)]-2*S(2)*S(3)*cos[α(2,3)]-2*S(3)*S(4)*cos[α(3,4)] ， S??(2)=S??(3)+S??(4)+S??(1)-2*S(1)*S(3)*cos[α(1,3)]-2*S(3)*S(4)*cos[α(3,4)]-2*S(4)*S(1)*cos[α(4,1)] ， S??(3)=S??(4)+S??(1)+S??(2)-2*S(2)*S(4)*cos[α(2,4)]-2*S(4)*S(1)*cos[α(4,1)]-2*S(1)*S(2)*cos[α(1,2)] ， S??(4)=S??(1)+S??(2)+S??(3)-2*S(3)*S(1)*cos[α(3,1)]-2*S(1)*S(2)*cos[α(1,2)]-2*S(2)*S(3)*cos[α(2,3)] ； S??(1)+S??(2)+S??(3)+S??(4)=2*{S(1)*S(2)*cos[α(1,2)]+S(1)*S(3)*cos[α(1,3)]+S(1)*S(4)*cos[α(1,4)]+S(2)*S(3)*cos[α(2,3)]+S(2)*S(4)*cos[α(2,4)]+S(3)*S(4)*cos[α(3,4)]} 。呵呵，这题有意思，打起来不怎么觉的累，一般四面体不引入二面角的，没有