已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的最高点M是(-3,,2).且与x轴交于两点.三角形AMB面积为4.求此函数解析式

设解析式是y=a(x+3)^2+2=ax^2+6ax+9a+2
设与X轴的二个交点坐标分别是x1,x2
x1+x2=-6
x1x2=(9a+2)/a
|x1-x2|^2=(x1+x2)^2-4x1x2=36-4(9+2/a)=-8/a.

S(AMB)=1/2*|x1-x2|*2=4
|x1-x2|=4

即-8/a=4^2,a=-1/2.
那么解析式是y=-1/2x^2-3x-2.5

AB=√(b^2-4ac)/|a|

三角形面积的平方：4(b^2-4ac)/4a^2=16
b^2-4ac=16a^2

y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a

-b/2a=-3 c-b^2/4a=2

解得：
a=-1/2
b=-3
c=-5/2

此二次函数解析式为：y=-x^2/2-3x-5/2

由有最高点和与X轴相交可知次图像为开口向下的抛物线，故可确定a为负数。三角形AMB面积为4，点M到X轴距离为2（因为M的Y轴坐标为2），即三角形的高为2，故可根据三角形面积公式算出三角形底边AB的长度为 4.
又因为抛物线的对称性，点M投射到X轴的点到A，B两点的距离是相等的，为AB长度的一半（即2），而M的X轴坐标为-3，所以可知A点坐标为（-5，0），B点为（-1，0）（假设左边的是A点，右边的是B点）。
将A、B、M三点坐标代入二次函数式，得到3个方程，联立之，便可解出a、b、c值。答案是a=-1/2，b=-3，c=-2/5.