如图,以Rt三角形的直角边AB为直径的半圆O,与斜边AC交于D,E是BC边上的中点，连接DE

解(1)证明:连接OD,OE,因为E为BC的中点,O为AB的中点
所以OE平行与AC,所以∠EOB=∠BAC
又∠DOE=∠ADO=∠BAC
所以∠EOB=∠DOE
在三角形DOE和三角形EOB中,DO=BO,有相同的斜边
所以三角形DOE与三角形EOB全等
所以∠EDO=∠ABE=90度,O为圆心
所以OD垂直DE,即DE是圆O切线
(2)因为OE平行与AC,显然D为AC的中点时,四边形AOED是平行四边形
所以当D为AC的中点时,设AC=x,则AB=xcosa(a为∠CAB)
所以OD=xcosa/2=DE,又OE=AC/2=x/2
在三角形DOE中OD² DE²=EO²
所以(cosa)²=1/2,因为∠CAB<90度
所以cosa=√2/2,所以a=45度
所以∠CAB=45度,所以sin∠CAB=√2/2
AE²=AB² BE²=√(5x²/8)
所以sin∠CAE=CEsin45/AE=√10/10