三角形中a,b,c分别是角A,B,C的对边,设a+c=2b,A-C=派/3,求角B的正弦值

因为 a+c=2b
由正弦定理可以知道 sinA+sinC=2sinB ①

由 积化和差公式 知
sinA+sinC=2* sin[(A+C)/2]* cos[(A-C)/2]
因为A+B+C=180°，A-C=60°
所以
sinA+sinC=2* sin[(A+C)/2]* cos[(A-C)/2]
=2*sin(90°-B/2)*cos30°
=√3cos(B/2) ②
由①②两式得
2sinB=√3cos(B/2)
而sinB=2sin(B/2)*cos(B/2)
所以
4sin(B/2)*cos(B/2)=√3cos(B/2)
得sin(B/2)=√3/4
因为B/2一定是锐角，
所以cos(B/2)=√13/4
所以
sinB=2sin(B/2)*cos(B/2)=√39/8

sinB=√39/8.

由a+c=2b与余弦定理得
sinA+sinC=2sinB,利用和差化积与倍角公式得
2sin((A+C)/2)*cos((A-C)/2)=4sin((A+C)/2)*cos((A+C)/2)
A-C=60,cos(A-C)/2=√3/2
√3sin(A+C)/2=4sin((A+C)/2)*cos((A+C)/2)
sin((A+C)/2)(√3-4cos((A+C)/2))=0,于是得
sin((A+C)/2)=0,或(√3-4cos((A+C)/2))=0,
如果sin((A+C)/2)=0,(A+C)/2=180,A+C=360(不合题意,舍去),
故得√3-4cos((A+C)/2)=0,
cos((A+C)/2)=√3/4, sin((A+C)/2)=√13/4
sin(A+C)=2sin((A+C)/2)*cos((A+C)/2)=√39/8
B=180-(A+C)
sinB=sin(A+C)=√39/8

a+c=2b,A-C=派/3,