已知f（x）是定义域在R上的函数，若对任意X1,X2属于R

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/31 13:04:44
已知f（x）是定义域在R上的函数，若对任意X1,X2属于R，都有f（（X1+X2）/2）小于等于（f（X1）+f（X2））/2成立，则称f（x）为R上的凹函数，设二次函数f（x）=ax^2+x （a属于R，且a不等于0），求证当a大于0时，函数f（x）为R上的凹函数

∵f（（X1+X2）/2）=a[(x1+x2)/2]^2+(x1+x2)/2,（f（X1）+f（X2））/2=[(ax1)^2+x1+a(x2)^2+x2]/2，∴两式相减并整理等于-a（x1-x2）^2，该式小于等于0恒成立，∴f（（X1+X2）/2）≤（f（X1）+f（X2））/2，∴函数f（x）为R上的凹函数。
本题应用了作差与零比较，从而确定两式的大小。（作差比较法）

凹函数的等价定义是f的二阶导数恒小于等于0
那么所要证明的f显然满足这个条件

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