f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，对任意x,y属于R，都有

由a1=1/2和f(x)f(y)=f(x+y)得
a2=f(2)=f(1+1)=f(1)^2=(1/2)^2,
用归纳法可证明对任意n,f(n)=(1/2)^n.
当n=1,n=2时是成立的,假设对n=k成立,则
f(k+1)=f(k)f(1)=(1/2)^k*(1/2)=(1/2)^(k+1)
即对n=k+1也成立,完成了归纳证明.
an是项为1/2且公比为1/2的等比数列,则
Sn=((1/2)^(n+1)-(1/2))/(1/2-1)
=-2((1/2)^(n+1)-(1/2))=1-(1/2)^n
显然1/2≤Sn<1.

小于1

a(n+1)=f(n+1)
an=f(n)
a(n+1)=an*a1=1/2an

{an}是以1/2为首项,1/2为公比的等比数列

所以

Sn=a1*(1-1/2`n)/(1-1/2)
=1-1/2`n<1

依题意：f(1)f(n)=f(1+n)，即a1*an=a（n+1），即a（n+1）/an=1/2为一等比数列首项为1/2公比为1/2。所以an=（1/2）的n次方
显然这是个无穷递缩等比数列，所以去前 n 项有极限，按公式，极限为a1/1-q=（1/2）/（1-1/2）=1，也就是说前n项和无限接近1
所以Sn小于1且大于1/2

易知，A(m+n)=f(m+n)=f(m)*f(n)=A(m)A(n).故A(n+1)=A(n)*A1=An*1/2.故该数列是以1/2为首项，公比为1/2的等比数列。故Sn=1-(1/2)^n.故1/2<<Sn<1.

可以猜出an等于2的n次方分之一，再用数学归纳法证明;
则an是等比数列，用公式可得到Sn=1-1/（2的n次方);
n>=1,0<1/(2的n次方）<=1/2
所以范围是1/2<=Sn<1
但愿你能看懂