UC知道5、如图(1)正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/22 22:10:57
（1）求四边形CDFP的周长；
（2）设BP＝x，AF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）延长DC,FP相交于点G，连接OE并延长交直线DC于H〔如图（2）〕。问是否存在点P，使⊿EFO∽⊿EHG(其中⊿EFO顶点 E、F、O与⊿EHG顶点E、H、G
为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由。
(1)、连接OE、OP、OF，过P作PG⊥AD交AD于I,所以PI=CD=2
很显然，0E=OB=OA=OF，OE⊥PE,
根据直角三角形全等判别方法—斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)
所以△OBP≌△OEC,△OEF≌△OAF
所以∠BPO=∠EPO，∠BPE=2∠OPE；∠EFO=∠AFO,∠AFE=2∠OFE
由于AD‖BC,所以∠FPB+∠PFA=180°
∠OPE+∠OFE=90°
所以△OFP是直角三角形
设PB=x，所以CP=GD=2-x
由于OB、OE是⊙O的半径，所以OB=OE=1
由勾股定理得
OC^2=OB^2+BP^2=x^2+1
PF^2=OC^2+OF^2=OB^2+BP^2+OF^2=x^2+1+OF^2①
由三角形面积公式可知
PF*OE=OF*OC---->PF=OF*√(x^2+1)②
解方程①②，得PE^2=x^2+1+(x^2+1)/x^2=(x+1/x)^2---->PE=x+1/x
由勾股定理得
FI^2=PE^2-IP^2=(x-1/x)^2---->FI=x-1/x
CDFP的周长=PF+FI+ID+DC+PC=x+1/x+x-1/x+2-x+2+2-x=6
(2)、
y=AF=AD-FI-ID=2-(x-1/x)-(2-x)=1/x
由于P点在MC上移动，且不能移动到M、C上，
所以1<x<2
(3)、
很显然OH⊥PF，所以⊿EFO与⊿EHG都是直角三角形
要想证明⊿EFO∽⊿EHG，只需要证明∠OFE=∠GHE
由于AB‖CD,所以∠GHE=∠EOA
又由于△OEF≌△OAF，所以 ∠EOF=∠AOF,
所以∠EOF=∠EOA/2=∠GHE/2
此时只需要证明∠EOF=∠OFE/2即可
又由于∠EOF+∠OFE=90°,所以当∠EOF=30°,∠OFE=60°时
⊿EFO∽⊿EHG
若使∠EOF=3