x,y均为正数，求(x+1/y)^2+(y+1/x)^2的最小值

原式=x^2+1/x^2+y^2+1/x^2+2(x/y)+2(y/x)
=(x^2+1/x^2)+(y^2+1/y^2)+2((x^2+y^2)/xy)
根据均值不等式a^2+b^2>=2ab得
>=2+2+2*2
>=8
所以最小值为8

均值不等式的变形
对正实数a,b，有a^2+b^2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab

(x+1/y)^2+(y+1/x)^2
=x^2+2x/y+1/y^2+y^2+2y/x+1/x^2
=x^2+1/x^2+1/y^2+y^2+2x/y+2y/x
>=2(x*1/x)+2(y*1/y)+2(sqr(2x/y)*sqr(2y/x))
=2+2+4
=8