定值问题(等腰三角形)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/12 22:37:53
已知三角形ABC为等腰三角形,过底边的中点D任意作一直线分别交一腰和另一腰的延长线于M,N两点,求证1/AM+1/AN为定值

答：
a,b，λ表示实数，大写字母表示向量。
设AM=aAC,AN=bAB
MN=MA+AN=-aAC+bAB
AD=(AB+AC)/2
MD=MA+AD=-aAC+1/2AC+1/2AB=1/2AB+(1/2-a)AC
点N,B,M三点共线，则存在λ满足
MN=λMD,将上式代入，得到
（λ/2-b)AB+(a+λ/2-λa)AC=0,
AB,AC不共线，
λ/2-b=0,a+λ/2-λa=0,消去λ，
a+b-2ab=0,a,b均不为零，两边除以ab,
1/a+1/b=2,
1/│AM│+1/│AN│
=1/a*(1/│AC│)+1/b*(1/│AB│)
=(1/a+1/b)(1/│AB│)
=2/│AB│