求助数学极限问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/17 16:21:06
(分母为a^x+b^x,分子是2)的(分子是3,分母是x)的次方,当x-0的极限[a,b均大于0,且a,b均不等于0]

f(x)=[2/(a^x+b^x)]^(3/x)
两边取对数，
lnf(x)=(3/x)*ln[2/(a^x+b^x)]
=ln[2/(a^x+b^x)]/(x/3)
当x趋于0时，上式是0/0型的未定式，
考虑用罗毕达法则，为了求导简便，
将上式做一些变换可得
lnf(x)=ln[(a^x+b^x)/2]/(-x/3)

分子分母分别求导可得，
[2/(a^x+b^x)]*[(a^x*lna+b^x*lnb)/2]/(-1/3)

当x趋于0时,上式极限为

A=(-3/2)*(lna+lnb)=ln[(ab)^(-3/2)]

所以原式极限为e^A=(ab)^(-3/2)