函数在一点导数存在，是否能保证它附近一定有某邻域内导数亦存在

不是，例如：分段函数

f(x)=x^2 x为有理数
-x^2 x为无理数
函数仅在x=0处连续，且可导。其他点不连续，当然就不可导了。

不能。函数在一点存在导数，这只能说明这个函数在这一点可导，不代表在这个点的附近某个领域内也存在导数。