函数+导数问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/04/29 10:56:16
设f(x)=[1+ln(x+1)]/x (x>0)
1)证明:f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数.
2)当x>0时,f(x)>k/(x+1)恒成立,求正整数k最大值

1）f'(x)=[x/(x+1)-1-ln(x+1)]/x^2
当x>0时，x/(x+1)<1,ln(x+1)>0,所以f'(x)恒小于零,则f(x)在（0，+∞)上单调递减.

2) k<f(x)/(x+1) 对x>0恒成立，则k<=min{f(x)/(x+1)}
令g(x)=f(x)/(x+1),g'(x)=1/(x+1)+[x/(x+1)-ln(x+1)-1]/x^2=0
得ln(x+1)=x-1，估算得2<x<3
所以k<=x+1,而k为正整数，所以k=3