函数与导数问题2

f'(x)=3x^2-1
曲线上任一点(xo,f(xo))的切线方程为(x-xo)(3xo^2-1)=(y-f(xo))
(x-xo)(3xo^2-1)=(y-xo^3+xo)

切线过点（a,b），则
(a-xo)(3xo^2-1)=(b-xo^3+xo)

过点（a,b）可作曲线y=f(x)的三条切线，故方程
(a-x)(3x^2-1)=(b-x^3+x)
有三解。

2x^3 -3ax^2 +a +b = 0 有三解，且a>0，
要证：-a<b<f(a)
证：
-a=b时
2x^3 -3ax^2 = -a-b =0
x^2(2x-3a) =0

在x=0处有重根，此处的 2x^3 -3ax^2 与x轴相切,而且是从下方相切(因d^2(2x^3 -3ax^2)/dx^2<0)。因此若a+b<0，则曲线2x^3 -3ax^2 +a +b会向下移而与x轴在x=0附近处分离，故
a+b<0时方程只有一解
a+b=0时方程有两解
a+b>0时方程有三解
所以a+b>0，b>-a

同理，b=f(a)时
2x^3 -3ax^2 +a +b=0
2x^3 -3ax^2 +a +a^3-a=0
2x^3 -3ax^2 +a^3=0
2x^2(x-a)-a(x+a)(x-a)=0
(2x^2-ax-a^2)(x-a)=0
(2x(x-a)+(x+a)(x-a))(x-a)=0
(3x+a)(x-a)^2=0

在x=a处有重根，此处的 2x^3 -3ax^2 +a^3 与x轴相切,而且是从下方相切(因d^2(2x^3 -3ax^2 +a^3)/dx^2在x=a处>0)。因此若b>f(a)，则曲线2x^3 -3ax^2 +a +b会向上移而与x轴在x=0附近处分离，故
b>f(a)时方程只有一解
b=f(a)时方程有两解
b<f(a)时