直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2－4y2=3的焦点作椭圆的焦点，

将双曲线整理成标准式：X^2/(1/4)-Y^2/(3/4)=1,所以 C^2=1/4+3/4=1,椭圆的两焦点为 F1(-1,0), F2(1,0),要椭圆与直线相交且长轴最短，应使椭圆与直线相切。过F1与已知直线垂直的直线方程为 Y=-X-1,两直线的交点 P（-2，1），PF1=((-2+1)^2+(1-0)^2))^(1/2)=2^(1/2), PF2=((-2-1)^2+(1-0)^2))^(1/2)=10^(1/2),椭圆的长半轴的平方为 （（PF1+PF2)/2）^2 = ((2^(1/2)+10^(1/2))/2)^2 = 3+5^(1/2),半短轴的平方为 3+5^(1/2)-1=2+5^(1/2)。所求椭圆方程为 X^2/(3+5^(1/2)) + Y^2/(2+5^(1/2)) = 1 。

“半短轴”他说的意思是X轴的半轴，我怕你不明白才给你解释解释的。
呵呵