如图，已知四棱锥P－ABCD中 几何题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/15 19:46:25
如图，已知四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC为直角，AD‖BC，AB⊥AC，AB = AC = 2，G为△PAC的重心，E为PB的中点，F在线段BC上，且CF= 2FB。
（1）求证：FG‖平面PAB；
（2）求证：FG⊥AC；
（3）当二面角P－CD－A的正切值多大时，FG⊥平面AEC?

（1）连结CG并延长交PA于点M，连结BM。
∵G为△PAC的重心，∴CG∶GM = 2∶1。
又CF∶FB = 2∶1，∴FG‖BM．
∴FG‖平面PAB。

（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，又AB⊥AC，
∴AC⊥平面PAB，∴AC⊥BM。
由（1）已证FG‖BM，∴FG⊥AC。

（3）连结EM，由（2）知FG⊥AC，
∴FG⊥平面AEC的充要条件是FG⊥AE，即BM⊥AE。
∵E、M分别为PB、PA的中点，
∴EM=1/2BA= 1，EM⊥PA．设EA∩BM =H，则EH =1/2HA。
设PA=h, 则EA=1/2PB=1/2√(4+h^2)
EH =1/6√(4+h^2)
∵Rt△AME ∽Rt△MHE，∴EM^2= EH•EA，
∴1 =√(4+h^2)• 1/6√(4+h^2)，
解得h=2√2
在直角梯形ABCD中，由已知可求得AD=√2
∵PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，∴PD⊥CD。
∴∠PDA为二面角P－CD－A的平面角，并且二面角的正切值为2。
∴当二面角P－CD－A的正切值为2时，FG⊥平面AEC。