已知三角形ABC中,a+b=10,且cosC是方程2x^2-3x-2=0的一个根,求三角形ABC面积的最大值

a+b=10≥2（ab)^(1/2)
ab≤25
2x^2-3x-2=0
(2x+1)(x-2)=0
x=-1/2,x=2
所以cosC=-1/2
sinc=3^(1/2)/2
S△ABC=absinc/2≤25*3^(1/2)/2/2
=(25/4)*3^(1/2)
最大值为（25/4)*3^(1/2)

2x^2-3x-2=0,
(2X+1)(X-2)=0,
X1=-1/2,X2=2,
则cosC=-1/2,
C=120度,
cos120=(a^2+b^2-c^2)/2ab=-1/2.
(a+b)^2-c^2=ab,
(a+b+c)(a+b-c)=ab,
令,Y=a+b+c,有
Y=ab/(a+b-c)=ab/(10-c),
要使Y最小,c就必须最小,则a,b就必须有最大值.
a+b≥2√ab,(a>0,b>0,)当且仅当a=b时,ab有最大值,即a+b=10=2a,a=5.
cosC=cos120=(a^2+b^2-c^2)/2ab,
c^2=2*5^2-2*5*5*(-1/2)=25*3,
c=5√3.
Y=ab/(a+b-c)=ab/(10-c),
=25/(10-5√3)=10+5√3.
三角形ABC周长的最小值为:10+5√3.

2X^2-3X-2=0,
(2X+1)(X-2)=0,
X1=-1/2,X2=2.
cosC是方程2x^2-3x-2=0的一个根,则
cosC=-1/2,
C=120度.
S三角形ABC面积=1/2*ab*sinC
=√3/4*ab,
要使三角形ABC面积有最大值,则必须a=b,
(a+b)≥2√(ab),当且仅当a=b时,才可取等号.
a+b=10,a=b,
2a=10,
a=b=5.
S三角形ABC面积的最大值=√3/4*ab=25√3/4.