直角三角形abc直角三角形adb直角三角形adc的内切圆分别与各三角形斜边相切于lmn,

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/26 16:33:09
在三角形abc中，角a=90度，ad为bc边上的高，直角三角形abc直角三角形adb直角三角形adc的内切圆分别与各三角形斜边相切于l、m、n,
求证：am乘以ab+cn乘以ac=cl乘以bc
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在三角形ABC中，角A=90度，AD为BC边上的高，直角三角形ABC直角三角形ADB直角三角形ADC的内切圆分别与各三角形斜边相切于L,M,N,
求证：AM乘以AB+CN乘以AC=CL乘以BC
证明：设AB=c,BC=a,CA=b,由已知易求BD=c^2/a,CD=b^2/a,AD=bc/a.
CL=(a+b-c)/2,CN=(CA+CD-AD)/2=(b+b^2/a-bc/a）/2，AM=(AB+AD-DB)/2=(c+bc/a-c^2/a)/2
AM*AB+CN*AC=(c+bc/a-c^2/a)/2*c+(b+b^2/a-bc/a）/2*b=(ac^2+bc^2-c^3+ab^2+b^3-b^2*c)/2a=[a(c^2+b^2)+b(c^2+b^2)-c(c^2+b^2)]/2a=(a^3+a^2*b-ca^2)/2a=(b+a-c)/2*a=CL*BC