一道高中抛物线的题目！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/28 12:54:30
已知过抛物线Y平方等于4X的焦点F的直线交抛物线与A，B两点，过原点O作向量OM，使向量OM垂直向量AB，垂足为M，求M的轨迹方程。
过程,思路，结果。。谢谢！

y^2=4x的焦点F(1,0)
M(x,y)
k(AB)=k(MF)=y/(x-1)
k(OM)=y/x
OM⊥AB
k(AB)*k(OM)=-1
[y/(x-1)]*y/x=-1
M的轨迹方程:
(x-0.5)^2+y^2=0.25

设AB直线方程为x=ky+b
联立有y^2-4ky-4b=0
Δ=16k^2+16b≥0
所以k^2+b≥0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则y2y1/(x1x2)=-1
y1+y2=4k,y1y2=-4b
x1x2=(ky1+b)(ky2+b)=k^2y1y2+kb(y1+y2)+b^2
=-4bk^2+4bk^2+b^2
=b^2
所以b^2-4b=0
b=4(b=0时AB有一个为原点O,舍去)
直线过定点C(4,0)
而OM⊥MC
所以M在以OC为直径的圆上
所以方程为y^2+(x-2)^2=4
但M不能是原点,所以x^2-4x+y^2=0(x≠0)