怎样证明自然数集是任意归纳集的子集

设X是任意归纳集,N是自然数集,所谓归纳集满足如下性质:⑴ 0属于X,⑵如果n属于X ,则必有n+1(n的后继)属于X.
自然数集N满足如下Peano公理:
⑴ 0属于N.
⑵如果n属于N ,则必有n+1属于N.
⑶如果有N的子集S,具有性质(i)0属于S,(ii) 如果n属于S ,有n+1属于S,则必有S=N.
由Peano公理⑴⑵可知N是归纳集,由⑶可知N是最小归纳集,故可推知任何自然数n仅有有限个先驱,假设N不是X的子集,则必存在n属于N,但n不属于X,由n不属于X,则n-1(n的先驱)不属于X,依次类推,0也不属于X,这与X是归纳集矛盾,故自然数集是任意归纳集的子集.