设T为正交阵，x为n维列向量，若|T|

1. |x|=2 （对于任意正交矩阵T和与之同阶的向量x有|Tx|=|x|）

2. 必要性：设l(1), l(2), ..., l(n)是正定矩阵A的特征值，则存在n阶正交矩阵P，使得
A= P diag(l(1),l(2),...,l(n)) P'
令（sqrt()表示开平方）
B= P diag(sqrt(l(1)),sqrt(l(2)),...,sqrt(l(n))) P'
则B是正定矩阵且A=B^2。

充分性：如果A=B^2，其中B正定，则x'Ax = x'B'Bx = |Bx|^2 >= 0，等号成立当且仅当Bx=0，因为B可逆，故当且仅当x=0，因此A是正定的。

3. x=0. 因为A的特征多项式为φ(λ)=(λ+2)(λ-2)^2，它有三个线性无关的特征向量，则属于特征值2的特征子空间是2维的，因此A的最小多项式是(λ+2)(λ-2)，即A^2=4I，比较此等式两端得x=0。