设ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量,求证:ξ是A^n的属于特征值λ^n的一个特征向量

n=1.Aξ=λξ.

设n≤k时命题成立：A^mξ=λ^mξ.（m=1,2,……，k）

看n=k+1.

A^（k+1）ξ=A（A^kξ）=A（λ^kξ）=λ^k（Aξ）=λ^k（λξ）=λ^（k+1）ξ.

即n=k+1时，命题也成立。归纳完成。

对每个自然数n.ξ是A^n的属于特征值λ^n的一个特征向量.